文章深入分析國內(nèi)外連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的研究現(xiàn)狀，介紹了拓撲優(yōu)化方法的發(fā)展及實現(xiàn)過程中存在的問題。對比分析了均勻化方法，漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法，變密度法的優(yōu)缺點。研究了連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化過程中產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象的原因，重點討論了灰度單元，棋盤格式，網(wǎng)格依賴性的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，并針對每一種數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象提出了相應的解決辦法。

    結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計的主要對象是連續(xù)體結(jié)構(gòu)，1981年程耿東和Olhof在研究中指出：為了得到實心彈性薄板材料分布的全局最優(yōu)解，必須擴大設(shè)計空間，得到由無限細肋增強的板設(shè)計。此研究被認為是近現(xiàn)代連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的先驅(qū)。
    目前，國內(nèi)外學者對結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題進行了大量研究，這些研究大多數(shù)建立在有限元法結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)上，但由于有限元法中單元網(wǎng)格的存在，結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化過程中常常出現(xiàn)如灰度單元，網(wǎng)格依賴性和棋盤格等數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象。本文介紹了幾種連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法及每種方法存在的問題，并提出了相應的解決辦法。
    1.拓撲優(yōu)化方法
    連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化開始于1988年Bendoe和Kikuchi提出的均勻化方法，此后許多學者相繼提出了漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法、變密度法等拓撲優(yōu)化數(shù)學建模方法。
    1.1.均勻化方法
    均勻化方法即在設(shè)計區(qū)域內(nèi)構(gòu)造周期性分布的微結(jié)構(gòu)，這些微結(jié)構(gòu)是由同一種各向同性材料實體和孔洞復合而成。采用有限元方法進行分析，在每個單元內(nèi)構(gòu)造不同尺寸的微結(jié)構(gòu)，微結(jié)構(gòu)的尺寸和方向為拓撲優(yōu)化設(shè)計變量。1988年Bendsoe研究發(fā)現(xiàn)，通過在結(jié)構(gòu)中引入具有空洞微結(jié)構(gòu)的材料模型，將困難的拓撲設(shè)計問題轉(zhuǎn)換為相對簡單的材料微結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化問題。
    很多學者發(fā)展了均勻化方法，Suzhk進行了基于均勻化方法結(jié)構(gòu)形狀和拓撲優(yōu)化協(xié)同設(shè)計。Hassani等全面系統(tǒng)的總結(jié)了基于均勻化理論的拓撲優(yōu)化理論和算法。該方法的優(yōu)點：數(shù)學理論嚴謹，在理解拓撲優(yōu)化的理論框架方面有重要的意義。缺點：（1）均勻化彈性張量的求解操作繁瑣，內(nèi)部微結(jié)構(gòu)的形狀和方向難以確定。（2）計算結(jié)果容易產(chǎn)生棋盤格和多孔材料等數(shù)值不穩(wěn)定性問題，可制造性差。
    1.2.漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法
    漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化的設(shè)計理論與方法，是由謝億民于1993年提出的，主要用于連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計問題。ESO方法通過逐漸將無效或低效的材料刪除，實現(xiàn)連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化，避免了多變量數(shù)學規(guī)劃求解問題。ESO方法中主要有三種方法刪除無效或低效單元。
    近年來ESO由于突出的優(yōu)點而得到迅速的發(fā)展，同時存在的問題也不容忽視。主要優(yōu)點有：不僅可以解決各類結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化，還可以實現(xiàn)形狀和拓撲優(yōu)化；拓撲形式清晰，迭代過程在計算機上實現(xiàn)，可以對有限元分析結(jié)果進行后處理近似得到靈敏度值，且在優(yōu)化過程中避免二次劃分網(wǎng)格問題。缺點是：迭代次數(shù)較多，計算效率較低，且通用性、數(shù)值穩(wěn)定性差。
    1.3.變密度法。
    密度法是人為假定單元的密度和材料物理屬性之間的某種對應關(guān)系，以連續(xù)變量的密度函數(shù)形式表達這種對應關(guān)系。變密度法是基于各向同性材料，以每個單元的相對密度作為設(shè)計變量，將結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為材料最優(yōu)分布設(shè)計問題，應用優(yōu)化準則法或數(shù)學規(guī)化方法來求解材料最優(yōu)分布設(shè)計。
    1999年Sigrnund等證實了該方法物理意義的存在性。變密度法主要優(yōu)點有：設(shè)計變量少；程序?qū)崿F(xiàn)簡單；以結(jié)構(gòu)重量為目標，不存在多目標問題。不足有：（1）優(yōu)化過程中存在相對密度在[0，1]之間單元。對于中間密度的單元，是否刪除就變得難以抉擇；（2）以柔度最小為優(yōu)化目標，在解決含有強度和剛度約束的優(yōu)化問題時不夠方便。